Интересные приёмы устных вычислений
В школе в курсе математики учителя
часто говорят: «Ребята, запомните это правило! Оно вам пригодится в дальнейшем
для быстрого счёта!»
Иногда, мы не обращаем внимание на
слова учителя, но оказывается, действительно знать их полезно.
Например, мне всегда приходят на
помощь три примера:
1)
5*2=10
2)
25*4=100
3)
125*8=1000
Часть 1
Признаки делимости.
С
признаками делимости мы впервые встречаемся в 5 классе. Однако по программе нас
знакомят только с некоторыми из них.
Признак делимости на 2.
Число
делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях
не делится.
Число,
делящееся на 2, называется четным, не делящееся- нечетным.
Например:
число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится
на 2, так как 1 цифра не четная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра
нуль.
Признаки делимости на 3 и на 9.
На
3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те
у которых сумма цифр делится на 9.
Например: число 17835 делится на 3 и не
делится на 9, так как сумма его цифр 1+ 7+ 8+ 3+ 5= 24 делится на 3 и не
делится на 9; число 106499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр
(29) не делится ни на 3, ни на 9; число 52632 делится на 9, так как сумма его
цифр (18) делится на 9.
Признаки делимости на 5.
На
5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие не делятся.
Например: 240 делится на 5 (последняя цифра 0); 554 не
делится на 5 (последняя цифра 4).
Признаки делимости на 10, 100 и 1000.
На
10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, 100 - только те
числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 - только те, у которых три
последние цифры нули.
Например:
8200 делится на 10 и на 100; 54200 делится на 10, 100, 1000.
Эти
признаки делимости в дальнейшем применяются при разложении чисел на простые
множители, при сокращении дробей и т.д.
Однако
я узнала, что существуют признаки делимости и на другие числа. Меня
заинтересовало это и я решила в дополнительных источниках их найти. Итак…
Признаки
делимости на 4.
Число
делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся
на 4. В остальных случаях число на 4 не делится.
Например:
ü
31700
делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
ü
215634
не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
ü
16628
делится на 4, так как две последние цифры дают число 28, делящееся на 4.
Признаки делимости на 8.
Число
делится на 8, если три последних цифры его нули или образуют число, делящееся
на 8. В остальных случаях - не делится.
Например:
ü
120000
делится на 8 (три нуля в конце);
ü
170004
не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8);
ü
111120
делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).
В
математике существует и другая формулировка данного признака:
На 8 делятся только четные натуральные числа,
у которых делится на число 8, образованное двумя последними цифрами, если цифра
сотен четная или равна 0.Если цифра не четная, то на восемь должно делиться
число, образованное двумя последними цифрами, плюс (минус) четыре.
Например:
ü
31656
делится на 8, т.к. 56 делится на 8, цифра сотен 6 четная;
ü
97552
делится на 8, т.к. 52+4=56, а 56 делится на 8, цифра сотен 5 нечетная;
ü
7016
делится на 8, т.к. 16 делится на 8, цифра сотен 0;
ü
3844
не делится на 8, т.к. 44 не делится на 8, цифра сотен 8 четная;
ü
2524
не делится на 8, т.к. 28=24+4 не делится на 8, цифра сотен 5 нечетная;
ü
4398
не делится на 8, т.к. 98-4=94 не делится на 8, цифра сотен 3 нечетная.
Признаки делимости на 6.
Число
делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае -
не делится.
Например:
126 делится на 6, так как оно делится и на 2, и на 3.
Признаки делимости на 25.
На
25 делятся числа, две последние цифры которых
нули или образуют число, делящееся на 25 (т.е. числа, оканчивающиеся на
00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Например:
ü
7150
делится на 25 (оканчивается на 50).
ü
4855
не делится на 25 (оканчивается на 55).
Признаки делимости на 11.
На
11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места,
либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Например:
ü
Число
103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12
равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
ü
Число
9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть
9+6+6+7=28,а сумма цифр, занимающих
четные места, есть 1+3+2=6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число
делится на 11.
ü
Число
461025 не делится на 11, так как числа 4+1+2=7 и 6+0+5=11 не равны друг другу,
а их разность 11-7=4 на 11 не делится.
Признаки делимости на 7.
Зачеркни
цифру единиц, удвой её и отними от оставшегося
числа. Если эта разность делится на 7, то и первоначальное число делится
на 7.
Например:
_161
2 _41181
14:7=>161:7 2
_4116
12
_399
18
21:7=>41181:7
Признаки делимости на 19.
Зачеркни последнюю цифру, удвой её,
прибавь к оставшемуся числу, проверяй да или нет.
Например:
+323
6 +7489
38:19=>323:19 18
+ 766
12
88
не делится19=>7489 не делится19
Часть 2.
Некоторые способы быстрых вычислений.
Для того, чтобы было проще и
быстрее считать можно пользоваться некоторыми интересными приемами и способами.
Вот некоторые из них.
Сложение натуральных чисел, путем увеличения одного слагаемого за
счет уменьшения другого.
Если
одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо
вычесть столько же единиц.
Например: 364+592=364+(592+8)-8=364+600-8=964-8=956
Если одно из слагаемых увеличить на несколько
единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.
Например: 997+856=(997+3)+(856-3)=1000+853=1853
Вычитание натуральных чисел,
путем увеличения уменьшаемого и вычитаемого
на несколько единиц.
Если вычитаемое увеличить на несколько единиц
и уменьшаемое увеличить на столько же единиц,
то разность не изменится.
Например: 1351- 994=(1351+6)-(994+6)=1357-1000=357.
Свойство( а + в )+( а - в)=2а
Если к сумме двух чисел прибавить их разность,
то получится удвоенное большее
число, т.е. (а+в)+(а-в)=2а.
Например:
(74+26) +(74-26)=148
Свойство (а + в) - (а - в)= 2в.
Если
от суммы чисел отнять их разность, то получится
удвоенное меньшее число, т.е. (а+в) - (а-в)=2в.
Например: (57+23)-(57-23)=46
Сложение многозначных чисел столбцами.
Сумма цифр каждого разряда
складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.
Например: 597 358
+ 1289 +439
67382
746
95895 932
23
25
34
15
18 23
13
2475
15
165163
Умножение с применением
распределительного закона.
Умножить два числа можно быстрее, если один
из множителей представлен в виде суммы
или разности.
Например:
8x318=8х(310+8)=2480+64=2544
7х196=7х(200-4)=1400-28=1372
Умножение методом Ферроля.
Для умножения единиц произведения
переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают
десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для
получения сотен перемножают десятки.
Например: 37х78=1776
а)7х8=56, пишем 6, помним 5
б)3х8+7х4+5=24+28+5=57,
пишем 7, помним 5
в)3х4+5=17, пишем 17.
Методом Ферроля легко перемножать устно
двухзначные числа от 10 до 20.
Например: 12х14=168
а)2х4=8, пишем 8
б)1х4+2х1=6, пишем 6
в)1х1=1, пишем 1.
Можно умножить и трёхзначное число на
двухзначное.
Например:
125х23=2875
а)3х5=15, пишем 5, помним
1
б)(3х2+2х5)+1=17, пишем 7,
помним 1.
в)(3х1+2х2)+1=8, пишем 8
г)2х1=2, пишем 2.
Умножение чисел, у которых число десятков одинаково,
а сумма единиц равна 10.
При умножении таких чисел необходимо число
десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем
перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа
приписать второй.
Например: 13х17=221 204х206=42024
а)1х(1+1)=2, пишем 2 а)20х(20+1)=420, пишем
420
б)3х7=21 приписываем справа
21 б)6х4=24, приписываем справа 24.
Умножение двузначного (трехзначного, четырехзначного) числа на 11.
При
умножении двузначного числа не 11 необходимо записать последнюю цифру числа
(цифру из разряда единиц), затем последовательно, справа налево записывать
суммы соседних двух цифр множимого, и, наконец, первую цифру множимого.
Например: 54х11=594
а) пишем4,
б)4+5=9, пишем 9
в) пишем 5.
124х11=1364=1(1+2)(2+4)4
Если одна из сумм соседних цифр окажется
больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы,
а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре
множителя, если предыдущая сумма превышала 9.
Например: 58х11=638
3765х11=41415
а) пишем 8 а) пишем
5
б)5+8=13, пишем 3,1
помним б)5+6=11, пишем1, 1
помним
в)5+1=6, пишем 6 в)7+6+1=14, пишем 4, 1 помним
г)3+7+1=11,
пишем1, 1 помним
д)3+1=4, пишем 4
Умножение на числа вида aa.
Чтобы
умножить число на число вида аа необходимо умножить данное число сначала на а,
потом на 11.
Например: 123х55=(123х5)х11=615х11=6(6+1)(5+1)5=6765.
Умножение двузначного числа на 111.
Чтобы
умножить двузначное число на 11, необходимо: справа налево последовательно
записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц),
сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую
цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц
каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.
Например: 42х111=4(4+2)(4+2)2=4662
68х111=7548
а) пишем последнюю цифру
8;
б)6+8=14, пишем 4, помним
1;
в)6+8+1=15, пишем 5,
помним 1;
г)6+1=7, пишем 7.
Умножение однозначного или двузначного числа на 37.
Способ основан на равенствах 2х37=74;3х37=111.
Пользуясь законами умножения и этими
равенствами можно упрощать процесс умножения во всех случаях.
Например: 6х37=3х2х37=111х2=222
8х37=(6+2)х37=6х37+2х37=222+74=296
45х37=(48-3)х37=12х4х37-3х37=16х3х37-3х37=3х37(16-1)=111х15=1665
А теперь вспомним примеры:
1) 5*2=10
2)
25*4=100
3)
125*8=1000
Умножение на 5.
Чтобы
умножить число на 5, достаточно число соответственно разделить на 2, а
результат умножить на 10.
Например: 46х5=46:2х10=23х10=230.
Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, достаточно число соответственно разделить на 4, а результат умножить на 100.
Например: 48х25=48:4х100=12х100=1200.
Умножение на 125.
Чтобы
умножить число на 125, достаточно число
разделить на 8, а результат умножить на 1000.
Например: 32х125=32:8х1000=4х1000=4х1000=4000
Примечание.
Если
множитель не делится нацело на 2, 4 или 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают
соответственно на 10, 100 или 1000, а
остаток - на 5, 25 или 125.
Например: 53х5=53:2=26х10+1х5=260+5=265 53:2=26(1 ост.)
43х25=(43:4=10(3
ост.))=10х100+3х25=1000+75=1075
66х125=(66:8=8(2 ост.))=8х1000+2х125=8000+250=8250.
Деление на 5.
Умножить
число соответственно на 2, и разделить
на 10.
Например: 220:5=220х2:10=440:10=44.
Деление на 25.
Умножить
число соответственно на 4, и разделить на 100.
Например: 1300:25=1300х4:100=5200:100=52.
Деление на 125.
Умножить число на 8 и разделить на 1000
Например:
9250:125=9250х8:1000=74000:1000=74
Примечание.
Иногда удобно менять порядок действий,
выполняя сначала деление на10, 100, 1000, а потом умножить на 2, 4, 8.
Умножение на 9.
Для того чтобы умножить число на 9, нужно к первому множителю приписать
столько нулей, сколько девяток (т.е. 1) и из результата вычесть первый
множитель.
Например: 286х9=2860-286=2574.
Умножение на 99.
К первому множителю приписать 2 нуля и из
результата вычесть первый множитель.
Например: 23х99=2300-23=2277.
Умножение на 999.
К
первому множителю приписать 3 нуля и из результата вычесть первый множитель.
Например: 18х999=18000-18=-17982.
Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков.
Чтобы
возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 десятков, нужно к 25 прибавить
цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат числа
единиц так, чтобы получилось четырёхзначное число.
Например: 512=2601
а)25+1=26, пишем 26
б)12=1, приписываем 01
582=3364 а)25+8=33
б)82=64, приписываем 64.
Ещё один интересный способ умножения.
13
|
*
|
64
|
=
|
|
=
|
26
|
*
|
32
|
=
|
=
|
52
|
*
|
16
|
=
|
=
|
104
|
*
|
8
|
=
|
=
|
208
|
*
|
4
|
=
|
=
|
416
|
*
|
2
|
=
|
=
|
832
|
*
|
1
|
= 832
|
13*64=832
24
|
*
|
17
|
=
|
|
=
|
24
|
*
|
16
|
=
|
=
|
48
|
*
|
8
|
=
|
=
|
96
|
*
|
4
|
=
|
=
|
192
|
*
|
2
|
=
|
=
|
384
|
*
|
1
|
= 384
|
24*17=24*16+24=384+24=408
Попробуй объяснить!
Известно, что если к произведению
четырёх последовательных натуральных чисел прибавить 1, то в результате
получится квадрат натурального числа.
Например:
1*2*3*4+1=25=52
2*3*4*5+1=121=112
3*4*5*6+1=289=172
Подсказка.
Правило быстрых вычислений в
данном случае в общем виде записывается так:
n (n+1)(n+2)(n+3)+1=(n(n+3)+1)2
Применим его к случаю n=7
7*8*9*10+1=(7*10+1)2=712
Комментариев нет:
Отправить комментарий